Restringiertes Produkt

Das restringierte Produkt ist eine Teilmenge des „normalen“ kartesischen Produktes und findet eine Anwendung in der Definition des Adelrings.

Definition: Restringiertes Produkt

Seien $\Omega _{\lambda }$ ($\lambda \in \Lambda$) einen Familie von topologischen Räumen und für fast alle (d. h. alle bis auf endlich viele) $\lambda$ sei $\Theta _{\lambda }\subset \Omega _{\lambda }$ eine gegebene offene Teilmenge von $\Omega _{\lambda }$. Definiere nun das restringierte Produkt der $\Omega _{\lambda }$ bezüglich der $\Theta _{\lambda }$:

$\Omega :={\widehat {\prod _{\lambda \in \Lambda }}}^{\Theta _{\lambda }}\Omega _{\lambda }:=\{(\alpha _{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }\in \prod _{\lambda \in \Lambda }\Omega _{\lambda }:\alpha _{\lambda }\in \Theta _{\lambda }{\text{ für fast alle }}\lambda \}.$

Falls klar ist, welche Menge $\Omega _{\lambda }$ gewählt werden, schreibe kurz:

$\Omega ={\widehat {\prod _{\lambda \in \Lambda }}}\Omega _{\lambda }$

Wir installieren auf $\Omega$ diejenige Topologie, die erzeugt wird von den sogenannten restringierten offenen Rechtecken, die folgende Gestalt haben: Sei $E\subset \Lambda$ eine endliche Teilmenge der Indexmenge gegeben. Seien $U_{\lambda }\subset \Omega _{\lambda }$ offen für alle $\lambda \in E$. Das dazugehörige restringierte offene Rechteck sieht wie folgt aus:

$\prod \limits _{\lambda \in E}U_{\lambda }\times \prod \limits _{\lambda \in \Lambda \setminus E}\Theta _{\lambda }$

Die Topologie ist die „restringierte Produkttopologie der $\Omega _{\lambda }$ bezüglich der $\Theta _{\lambda }$“.

Lemma: $\Omega _{S}$

Sei $S$ eine endliche Teilmenge von $\Lambda$ und sei

$\Omega _{S}=\prod _{\lambda \in S}\Omega _{\lambda }\times \prod _{\lambda \notin S}\Theta _{\lambda }.$

Dann ist $\Omega _{S}$ eine offene Teilmenge von $\Omega$ und die Teilraumtopologie von $\Omega$ auf $\Omega _{S}$ ist gleich der Produkttopologie auf $\Omega _{S}$.

Bemerkung: Es gilt $\Omega =\bigcup \limits _{S\subset \Lambda {\text{ endlich}}}\Omega _{S}$.

Lemma: Die restringierte Produkttopologie hängt von der Gesamtheit aller Mengen ab

Die restringierte Produkttopologie hängt von der Gesamtheit der $\Theta _{\lambda }$ ab, aber nicht von den einzelnen $\Theta _{\lambda }$, d.h. sei $\Theta _{\lambda }'\subset \Theta _{\lambda }$ offen für alle $\lambda$ und es gelte $\Theta _{\lambda }'=\Theta _{\lambda }$ für fast alle $\lambda$. Dann sind die restringierten Produkte und ihre entsprechenden Topologien kanonisch isomorph.

Lemma: $\Theta$ ist lokalkompakt

Sei die Situation wie zuvor und nimm an, dass alle $\Omega _{\lambda }$ lokalkompakt sind und, dass die $\Theta _{\lambda }$ kompakt sind. Dann ist $\Omega$ lokalkompakt. Dies folgt sofort aus dem Satz von Tychonoff.

Lemma: Zerlegung des restringierten Produktes

Sei $\Lambda$ eine Indexmenge und seien $\Omega _{\lambda }$ topologische Räume für alle $\lambda \in \Lambda$. Für jedes $\lambda \in \Lambda$ sei eine offene Menge $\Theta _{\lambda }\subset \Omega _{\lambda }$ gegeben. Sei $\Lambda =\Lambda _{1}{\overset {.}{\cup }}\Lambda _{2}$ eine disjunkte Zerlegung der Indexmenge $\Lambda$. Dann gilt:

${\widehat {\prod _{\lambda \in \Lambda _{1}}}}^{\Theta _{\lambda }}\Omega _{\lambda }\times {\widehat {\prod _{\lambda \in \Lambda _{2}}}}^{\Theta _{\lambda }}\Omega _{\lambda }={\widehat {\prod _{\lambda \in \Lambda }}}^{\Theta _{\lambda }}\Omega _{\lambda }$

wobei die beiden Mengen und die beiden Topologien übereinstimmen (links haben wir die Produkttopologie bei den beiden Faktoren). Der Beweis dieser Aussage ist nicht schwer: Beachte, dass auf beiden Seiten die gleiche Menge definiert wird und die gleichen offenen Mengen erzeugen die jeweilige Topologie, also sind die beiden topologischen Räume gleich.

Definition: Produktmaß auf dem restringierten Produkt

Seien $\mu _{\lambda }$ Maße auf den $\Omega _{\lambda }$, welche so normiert werden, dass $\mu _{\lambda }(\Theta _{\lambda })=1$. Dann definiere das Produktmaß $\mu$, indem es auf restringierten offen Rechtecken festgelegt wird. Da diese die Topologie erzeugen, genügt es $\mu$ darauf zu definieren. Definiere also

$\mu (\prod \limits _{\lambda \in E}U_{\lambda }\times \prod \limits _{\lambda \in \Lambda \setminus E}\Theta _{\lambda }):=\prod \limits _{\lambda \in E}\mu _{\lambda }(U_{\lambda })\cdot \prod \limits _{\lambda \in \Lambda \setminus E}\mu _{\lambda }(\Theta _{\lambda })=\prod \limits _{\lambda \in E}\mu _{\lambda }(U_{\lambda }).$

Dies ist ein endlichen Produkt, da $\mu _{\lambda }(\Theta _{\lambda })=1$ ist und $E$ endlich ist.

Korollar: Einschränkung von $\mu$ auf $\Omega _{S}$

Die Einschränkung von $\mu$ auf $\Omega _{S}$ ist das normale Produktmaß auf diesem Raum, wobei $S\subset \Lambda$ endlich ist.

Anwendungen des restringierten Produktes

Eine Anwendung des restringierten Produktes besteht in der Definition des Adelrings eines algebraischen Zahlkörpers oder allgemeiner eines globalen Körpers.

Literatur

• John Cassels, Albrecht Froehlich: Algebraic number theory: proceedings of an instructional conference, organized by the London Mathematical Society, (a NATO Advanced Study Institute). Academic Press, London 1967, XVIII, 366 Seiten.

Dieser Wikipedia-Artikel wurde, gemäß GFDL, CC-by-sa mit der kompletten History importiert.