Kronecker-Produkt von Pauli-Matrizen

In diesem Artikel wird eine allgemein gehaltene Näherungsmethode für verschiedene Modelle der Festkörperphysik vorgestellt.
Die Methode benutzt das Kronecker-Produkt von Pauli-Matrizen.

Sind $\sigma _{0},\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}$ die vier Pauli-Matrizen, so kann man mit Hilfe des Kronecker-Produkt höherdimensionale Matrizen erzeugen.

$p:=\sigma _{\mu _{1}}\otimes \sigma _{\mu _{2}}\otimes ...\otimes \sigma _{\mu _{n}}\quad ;\quad \mu _{1},\mu _{2},...,\mu _{n}\epsilon \{0,1,2,3\}\quad ;\quad n\epsilon \mathbb {N}$

Eigenschaften der Pauli-Matrizen vererben sich auf diese Matrizen. Sind $p_{1}$ und $p_{2}$ zwei Kronecker Produkte von Pauli-Matrizen, so gilt:

• $p_{1},p_{2}$ sind $2^{n}\times 2^{n}$ Matrizen
  
• $p_{1}^{2}=p_{2}^{2}=1\qquad$ (Die $2^{n}\times 2^{n}$ Einheitsmatrix)
  
• $p_{1}p_{2}=p_{2}p_{1}$ oder $p_{1}p_{2}=-p_{2}p_{1}\qquad$ (Lemma)
  
• $\operatorname {Spur} \sigma _{\mu _{1}}\otimes \sigma _{\mu _{2}}\otimes ...\otimes \sigma _{\mu _{n}}=2^{n}\delta _{\mu _{1},0}\delta _{\mu _{2},0}...\delta _{\mu _{n},0}$
• Die Kronecker Produkte von Pauli-Matrizen sind linear unabhängg und bilden eine Basis im Vektorraum der $2^{n}\times 2^{n}$ Matrizen

Sie spielen in der Physik eine Rolle. Hamilton-Operatoren $H$ vieler physikalischer Modelle lassen sich als Summe solcher Matrizen ausdrücken.
Insbesondere lassen sich Erzeuger und Vernichter von Fermionen, die endlich viele Zustände einnehmen können, einfach durch sie ausdrücken.

$H=\sum _{k=0}^{N}h_{k}p_{k}\quad$ mit $\quad N\in \mathbb {N} ,h_{k}\in \mathbb {R} ,p_{k}$ ist Kronecker Produkt von Pauli-Matrizen

Beispiele für derartige Modelle sind Hubbard-Modell, Heisenberg-Modell (Quantenmechanik) und Anderson-Modell.
Häufig interessiert man sich für die Exponentialfunktion des Hamilton-Operators.

$exp\{-\beta H\}=\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {(-\beta )^{l}}{l!}})(\sum _{k=0}^{N}h_{k}p_{k})^{l}\quad mit\quad \beta \epsilon \mathbb {R}$

Aufgrund des Lemma kann man in einem Produkt die Matrizen beliebig anordnen.
Ist $\pi$ eine Permutation, so ist:

$p_{\pi _{1}}p_{\pi _{2}}...p_{\pi _{n}}=ap_{1}p_{2}...p_{n}\quad mit\quad n\epsilon \mathbb {N} ,a\epsilon \{1,-1\}$

Deshalb existieren rationale Zahlen $E_{k_{1}k_{2}...k_{N}}$ mit:

$exp\{-\beta H\}=\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{\infty }...\sum _{k_{N}=0}^{\infty }E_{k_{1}k_{2}...k_{N}}(-\beta h_{1})^{k_{1}}(-\beta h_{2})^{k_{2}}...(-\beta h_{N})^{k_{N}}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}...p_{N}^{k_{N}}$

Diese rationalen Zahlen sind, von Ausnahmen abgesehen, schwer zu berechnen.
Eine erste Näherung ergibt sich, indem man nur Summanden berücksichtigt, die aus kommutierenden Matrizen bestehen.

$E_{k_{1}k_{2}...k_{N}}=0$ falls ein Paar $1\leq a,b\leq N$ mit $p_{a}p_{b}=-p_{b}p_{a}$ und $k_{a},k_{b}>0$ existiert

$E_{k_{1}k_{2}...k_{N}}={\frac {1}{k_{1}!}}{\frac {1}{k_{2}!}}...{\frac {1}{k_{N}!}}$ sonst

Die Näherung läßt sich weiter verbessern, indem man Paare, Tripel, ... von nicht kommutierenden Matrizen berücksichtigt.

Literatur

• Willi-Hans Steeb: Kronecker Product of Matrices and Applications. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim 1991, ISBN 3-411-14811-X.

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