Interpolationsverlust

• Beispiele für Interpolation
• 

  ... von Messwerten in der Mathematik.

• 

  ... von Farbwerten in der Fotografie.

Interpolationsverlust ist eine häufige Begleiterscheinung bei der Interpolation von diskreten ("unzusammenhängenden") Werten.
Diskrete Werte werden vorrangig in der (numerischen) Mathematik und der (digitalen) Fotografie interpoliert. In beiden Anwendungsbereichen geht es um das Errechnen neuer Werte auf Basis alter Werte (das errechnen der neuen Werte wird interpolieren genannt).

Typische diskrete Werte in der Mathematik können Messwerte sein, in der Fotografie sind es die Dichte- und Farbwerte eines (digitalen) Fotos.

Grundproblem

Diskrete Werte sind "voneinander isolierte" Werte (im Beispielbild durch 3 rote Punkte dargestellt). Diese Werte können bestimmte Eigenschaften (im Beispielbild symbolisiert durch die Skala von A bis Z) haben. Im oberen Beispielbild kann der linke Punkt der Eigenschaft "A" zugeordnet werden. Die Eigenschaft "A" steht symbolisch für die Größe eines Meßwertes oder die Dichte- und Farbinformation eines Fotos.

Eine Änderung der Eigenschaft dieser diskreten Werte ist erwünscht wenn beispielsweise

• ein Meßwert unter veränderten Bedingungen betrachtet werden soll
• der Dichte- oder Farbwerte eines Bildpixels geändert werden soll

Im unteren Beispielbild wurde die Eigenschaften aller 3 Punkte geändert: der linke Punkt ist jetzt eindeutig der Eigenschaft "B" zuzuordnen, der mittlere Punkt kann ungefähr der Eigenschaft "F" zugeordnet werden; nur beim rechten Punkt muß man sich zwischen Wert "R" und "S" entscheiden.

Wenn diskrete Werte nicht eindeutig einer neuen Eigenschaft zugeordnet werden können, entstehen zwar neue Werte, aber ein Informationsverlust. Dieser Informationsverlust heißt Interpolationsverlust.

Eigenschaften

Diskrete Werte sind isolierte Werte innerhalb eines definierten Raumes. Dieser Raum kann durch die Art der Meßwerte, aber auch durch die Art des Objektes bestimmt sein. Beispiele sind:

• Durch eine Sinuskurve werden die Werte eines Signals dargestellt. Die einzelnen Werte des Signals sind isoliert. Der Raum der Werte wird bestimmt durch die x- und y-Achse des Diagramms.
• Der Wert eines Bildpixels wird durch Helligkeit dargestellt. Jeder Pixel kann verschiedene Helligkeitswerte darstellen. Der Raum der Werte wird bestimmt durch den Umfang aller möglichen Helligkeitswerte.

Innerhalb des Raumes haben alle diskreten Werte eine bestimmte Beziehung zueinander. Bei den o.g. Beispielen wird diese Beziehung durch die Sinuskurve dargestellt (obwohl die Werte des Signals Einzelwerte sind), bzw. im Falle des Bildes durch eine bestimmte Helligkeitsänderung im Foto (also aus der Summe von einzelnen Helligkeitswerten in den Pixeln).
Werden einzelne Werte innerhalb des Raumes geändert, ändert sich auch die Beziehung der Werte zueinander. Bei unseren Beispielen würde sich also die Form der Sinuskurve oder der Helligkeitsverlauf im Bild ändern.

Interpolationsverfahren

siehe auch Interpolationverfahren in der Mathematik
siehe auch Interpolationverfahren in der Fotografie

Es gibt zahlreiche Interpolationverfahren. Allen ist gemeinsam, das sie mit dem o.g. Grundproblem umgehen müssen. Von der Qualität der Interpolation hängt die Qualität der neuen Werte ab. Nur wenn die neuen Werte eindeutig zuzuordnen sind (s.a. oberes Beispiel), gibt es keinen Informationsverlust. Bei jeder nichteindeutigen Zuordnung entsteht Informationsverlust.

Verschiedene Interpolationsverfahren versuchen diesen Verlust gering zu halten. Aus diesem Grund analysieren sie die Tendenz der einzelnen Werte durch die Beobachtung der Nachbarwerte. In allen Anwendungsbereichen gibt es dafür sehr ausgereifte Verfahren.

Einzelnachweise

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